MATEMATIKA KELAS 7

BILANGAN BULAT

Pendahuluan

Pernahkah kamu melihat beberapa jenis bus kota yang berangkat dari suatu terminal keberbagai kota?  Kalau kamu amati Bus A kejurusan kota X diberangkat setiap 15 menit sekali, sedangkan bus B kejurusan kota Y diberangkat setiap 20 menit sekali.

Setelah beberapa kali pemberangkatan ternyata bus A dan bus B berangkat dari terminal pada waktu yang sama, apa yang dapat kamu ambil kesimpulan dari pemberangkatan kedua bus tersebut?

Benar, kedua bus tersebut melambang situasi kelipatan dari dua bilangan bulat yaitu bilangan 15 dan bilangan 20.

Juga, apakah kamu dan temanmu pernah membeli buku tulis yang sama di sebuah toko dengan jumlah yang berbeda?

Harga buku yang sama tetapi jumlah buku yang berbeda, sehingga yang harus dibayarkan dengan jumlah uang yang  berbeda, hal ini menggambarkan situasi faktor persekutuan dari dua buah bilangan.

Apakah kamu juga masih ingat tentang perkalian dan pembagian bilangan bulat pada modul sebelumnya? Karena modul berikut ini sangat erat kaitannya dengan modul yang sebelum kamu pelajari.

Untuk lebih memahami masalah tersebut silakan kamu pelajari modul berikut ini dengan cermat, dalam modul ini kamu akan mempelajari tentang:

1. FPB dan KPK 
2. Kuadrat dan akar kuadrat
3. Pangkat tiga dan akar pangkat tiga
4. Penerapan dalam kehidupan sehari-hari.
    

Materi

Bilangan Bulat

Baiklah peserta didik sekalian, apakah kalian sudah menyelesaikan kuis tadi dengan baik? Apakah kalian dapat memahami pengertian perkalian, dan pembagian yang ada pada kuis tersebut? Bagus! Berarti kalian sudah mulai memahaminya, jika belum kalian dapat mengulang kembali kuis itu.

Untuk lebih memahami dan mendalami mengenai pengertian perkalian, dan pembagian serta untuk mengetahui manfaat yang dapat kita pergunakan dalam kegiatan kita sehari-hari, marilah kita sama-sama mempelajari materi bilangan bulat 2 ( FPB, KPK, kuadrat dan akar kuadrat, pangkat tiga dan akar pangkat tiga) ini lebih jauh lagi.

FPB dan KPK

1. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
   Faktor persekutuan terbesar dua bilangan atau lebih dapat diperoleh:
   • dari anggota himpunan faktor persekutuan bilangan-bilangan tersebut yang terbesar atau,
   • dengan cara mengalikan faktor-faktor prima yang sama dari pangkat terendah.
   
   
   • Menggunakan Faktor Prima
     Contoh: 
   1. FPB dari 8 dan 12
      8 = 2 x 2 x 2 = 2³
      12 = 2 x 2 x 3 = 2² x 3
      Jadi, FPB dari 8 dan 12 adalah 2² = 4
   2. FPB dari 16 dan 24
      16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 2⁴ 
      24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2³ x 3
      Jadi, FPB dari 16 dan 24 adalah 2³ = 8
   3. FPB dari 250 dan 375
      250 = 5 x 5 x 5 x 2= 5³ x 2
      375 = 5 x 5 x 5 x 3 = 5³ x 3
      Jadi, FPB dari 125 dan 375 adalah 5³ = 125
   • Menggunakan Himpunan Faktor Persekutuan
     Contoh:
   1. Tentukan FPB dari bilangan 18 dan 24
      Faktor 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
      Faktor 24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
      Faktor persekutuan dari 18 dan 24 = { 1, 2, 3, 6}
      FPB dari 18 dan 24 = 6
   2. Tentukan FPB dari bilangan 75 dan 120
      Faktor 75 = {1, 3, 5, 15, 25, 75}
      Faktor 120 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}
      Faktor persekutuan dari 75 dan 120 = {1, 3, 5, 15}
      FPB dari 75 dan 120 = 15
   3. Tentukan FPB dari bilangan 36, 48 dan 72
      Faktor 36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
      Faktor 48 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16,24, 48}
      Faktor 72 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}
      Faktor persekutuan dari 36 dan 48 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
      FPB dari 36 dan 48 = 12
   Apakah kamu dapat membedakan kedua cara bagaimana menentukan faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan atau lebih, tentu kamu dapat menggunakan keduanya, tetapi gunakan cara yang lebih mudah.
   
   
2. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
   
   Kelipatan persekutuan terkecil dua bilangan atau lebih dapat diperoleh: 
   • Dari anggota himpunan kelipatan persekutuan bilangan-bilangan yang terkecil dan bukan nol, atau
   • Dengan cara mengalikan faktor-faktor prima yang berbeda dengan pangkat tertinggi.
   
   
   • Menggunakan Faktor Prima:
     Contoh: 
   1. Tentukan KPK 8 dan 12
      Dengan faktor prima:
      8 = 2 x 2 x 2 = 2³ 
      12 = 2 x 2 x 3 = 2² x 3
      KPK dari 8 dan 12 adalah 2³ x 3 = 24
   2. Tentukan KPK 9 dan 15
      Dengan faktor prima:
      9 = 3 x 3 = 3² 
      15 = 3 x 5 = 3 x 5
      KPK dari 9 dan 15 adalah 3² x 5 = 45
   3. Tentukan KPK 21 dan 35
      Dengan faktor prima:
      21 = 3 x 7
      35 = 5 x 7
      KPK dari 21 dan 35 adalah 3 x 5 x 7 = 105
   
   
   • Menggunakan Himpunan Kelipatan Persekutuan
     Contoh: 
   1. Tentukan KPK dari bilangan 8 dan 12
      Kelipatan 8 = {8, 16, 24, 32, 40, 48, …}
      Kelipatan 12 = {21, 24, 36, 48, 60, 72, ….}
      Kelipatan persekutuan dari 8 dan 12 = { 24, 48, …}
      KPK dari 8 dan 12 = 24
   2. Tentukan KPK dari bilangan 15 dan 20
      Kelipatan 15 = {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, …}
      Kelipatan 20 = {20, 40, 60, 80, 100,120, …}
      Kelipatan persekutuan dari 15 dan 20 = {60, 120, ….}
      KPK dari 15 dan 20 = 60
   3. Tentukan KPK dari bilangan 6, 8 dan 10
      Kelipatan 6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, …}
      Kelipatan 8 = {8, 16, 24, 32, 40, 48, …}
      Kelipatan 12 = {12, 24, 36, 48, 60, …}
      Kelipatan persekutuan dari 6, 8 dan 12 = {24, 48, …}
      KPK dari 6, 8 dan 12 = 24
   
   Dari beberapa contoh diatas, apakah kamu masih belum memahaminya? Tentu tidak, karena dengan contoh yang diberikan kamu sudah dapat memahami materi tersebut, sehingga nantinya kamu dapat menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari terutama di lingkungan keluarga, masyarakat disekitarmu. Agar kamu lebih memahami penerapan dari FPB dan KPK dalam kehidupan sehari-hari perhatikan beberapa soal di bawah ini. 
   4. Penyelesaian masalah sehari-hari yang berkaitan dengan KPK dan FPB.
   Contoh: 
   1. Ali dan Bayu bertugas sebagai piket OSIS bersama-sama pada tanggal 12 Januari 2010, jika Ali bertugas setiap 3 hari sekali dan Bayu bertugas setiap 4 hari sekali. Pada tanggal berapa Ali dan Bayu akan bertugas bersama lagi untuk yang ke-2 kalinya.
      Penyelesaian:
      KPK dari 3 dan 4 adalah 3 x 4 = 12
      Jadi, mereka akan bertugas bersamaan setelah 12 hari.
      Ali dan Bayu bertugas bersama lagi pada tanggal: 24 Januari 2010.
   
   
   2. Doni mempunyai 20 butir kelereng merah, 28 butir kelereng putih, dan 36 butir kelereng biru. Kelereng tersebut dimasukkan ke dalam kantong dengan isi sama banyak. Berapa kantong yang diperlukan ? Berapa butir kelereng merah, kelereng putih, dan kelereng biru dalam satu kantong ?
      Penyelesaian:
      20 = 2 x 2 x 5 = 2² x 5
      28 = 2 x 2 x 7 = 2² x 7
      36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 2² x 32
      Jadi, banyak kantong yang diperlukan adalah 4 kantong
      
      Dari beberapa contoh di atas, apakah kamu sudah memahami materi tersebut? Untuk lebih meningkatkan pemahaman kamu kerjalkan latihan 1 berikut ini. Jika hasilnya kurang baik, pelajari kembali materi di atas dengan cermat.

Kuadrat dan Akar Kuadrat

1. Kuadrat dan akar kuadrat


Pada pelajaran terdahulu kamu telah mempelajari perkalian dua bilangan atau lebih. Masih ingatkah Kamu cara menentukan hasil perkalian dua bilangan atau lebih tetapi bilangannya sama? Nah, untuk mengingat beberapa perkalian coba kamu perhatikan pembahasan materi berikut ini.

Masih ingatkan kamu arti 10² ? berapakah nilai ?
Bilangan 10² artinya : 10 x 10 = 100
Kalau ditulis : 7² artinya adalah 7 x 7 = 49
Jadi 10² dibaca 10 kuadrat atau 10 pangkat 2
           7² dibaca 7 kuadrat atau 7 pangkat 2

Secara umum ditulis : a² = a x a atau mengkuadratkan suatu bilangan sama artinya dengan mengalikan bilangan itu dengan dirinya sendiri. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut :

Nilai dari : 3² = 3 x 3 = 9
Nilai dari : 1,5² = 1,5 x 1,5 = 2,25
Nilai dari : 3,75² = 3,75 x 3,75 = 14,06

Bagaimana sekarang apakah kamu sudah jelas dengan contoh di atas ?

Akar Kuadrat Suatu Bilangan 
Pada materi di atas, kamu telah mempelajari bagaimana menentukan kuadrat suatu bilangan, misalnya :
- kuadrat dari 3 adalah 9, ditulis 3² = 9
- kuadrat dari 5 adalah 25, ditulis 5² = 25
- kuadrat dari 11 adalah 121, ditulis 11² = 121
- kuadrat dari 15 adalah 225, ditulis 15² = 225

Apabila Kamu dapat menentukan kuadrat suatu bilangan, saya yakin Kamu juga dapat dengan mudah menentukan akar kuadrat suatu bilangan.

Nah, untuk itu perhatikan contoh berikut:




Sekarang, cobalah tentukan √64. Untuk menentukan √64, Kamu harus mencari kuadrat suatu bilangan yang hasilnya 64. Ya, bagus, bilangan itu adalah 8, sebab 8² = 64, jadi √64 = 8

Selanjutnya, tentukanlah √81. Untuk menentukan √81, Kamu harus mencari kuadrat suatu bilangan yang hasilnya 81. Ya, bagus, bilangan itu adalah 9, sebab 9² = 81 jadi √81 = 9
Apakah yang dapat Kamu simpulkan tentang akar kuadrat itu ?

Bagus, jawabanmu tepat sekali.



Untuk lebih memahami pengertian kuadrat suatu bilangan, coba kamu jawab luas persegi berikut ini dengan mengganti ukuran persegi sesuai keingananmu.


2. Pangkat tiga dan akar pangkat tiga
   Setelah kamu mempelajari tentang kuadrat dan akar kuadrat, sekarang kamu akan mempelajari tentang pangkat tiga dan akar pangkat tiga, pada prinsipnya tidak jauh berbeda dengan pangkat dua dan akar pangkat dua.
   Untuk itu coba kami cermati pembahasan di bawah ini.
   Bilangan berpangkat tiga dilambangkan dengan angka tiga, pangkat tiga dari suatu bilangan a, didefinisikan sebagai berikut:
   
   a³ = a x a x a
   b³ = b x b x b
   
   Contoh:
   - Pangkat tiga dari 3 adalah 27, ditulis 3³ = 27
   - Pangkat tiga dari 4 adalah 64, ditulis 4³ = 64
   - Pangkat tiga dari 5 adalah 125, ditulis 5³ = 125
   - Pangkat tiga dari 6 adalah 216, ditulis 6³ = 216
   
   Hasil pangkat tiga suatu bilangan disebut juga “kubik”. Perhatikan hasil pangkat tiga pada contoh di atas. Bilangan 125 dan 216 disebut bilangan kubik, karena merupakan hasil pangkat tiga dari 5 dan 6.
   
   Untuk lebih memahami pengertian pangkat tiga suatu bilangan, coba kamu jawab volum kubus berikut ini dengan mengganti ukuran sisi kubus sesuai keingananmu.
   
   Untuk lebih memahami pengertian kuadrat suatu bilangan, coba kamu jawab simulasi volum kubus berikut ini dengan mengganti ukuran persegi sesuai keingananmu.
   
   
   
   Oke, apakah kamu sudah dapat membedakan antara kuadrat bilangan dengan pangkat tiga? atau akar kuadrat dengan akar pangkat tiga? Tentu, kamu sudah dapat membedakannya.
   
   Penarikan akar pangkat tiga bilangan bulatTentu kamu masih ingat tanda atau . Tanda tersebut adalah tanda untuk penarikan akar pangkat dua. Tanda untuk penarikan akar pangkat tiga adalah dan operasi merupakan kebalikan dari pangkat tiga suatu bilangan.

Penerapan dalam kehidupan sehari-hari Pernahkah kamu menghitung luas sebuah kebun yang berbentuk persegi dan volum dari bak air berbentuk kubus ? tentu hal tersebut pernah kalian lihat atau lakukan sendiri.

Contoh: 

1. Hitunglah luas sebidang kebun berbentuk persegi dengan ukuran panjang sisinya 25 meter
   Jawab:
   Luas kebun = sisi x sisi
                      = 25 m x 25 m
                      = 625 m²


2. Diketahui luas sebuah kertas karton berbentuk persegi 2500 cm2. Berapa panjang sisi karton tersebut?
   Jawab:
   Sisi =
          = 50 cm


3. Sebuah bak penampungan air berbentuk kubus dengan panjang sisinya 1,5 meter. Tentukan volum air jika bak tersebut terisi penuh dengan air.
   Jawab:
   Volum bak air = sisi x sisi x sisi
                        = 1,5 m x 1,5 m x 1,5 m
                        = 3,375 m³

Sekarang bagaimana tingkat pemahamanmu tentang materi ini, tentu sudah semakin baik, untuk itu kerjakan soal latihan berikut
Selesaikan soal-soal di bawah ini, dengan cara kamu ketikkan jawaban pada kotak jawaban yang disiapkan, jika jawaban kamu salah maka kamu dapat memperbaiki jawaban sekali lagi, setelah itu lanjutkan dengan menjawab soal berikutnya.
Setelah selesai menjawab, cocokkan jawaban kamu dengan kunci jawaban, dengan mengklik tombol pembahasan.
.

K


Kunci Jawaban

Rangkuman

Setelah kamu mempelajari materi diatas perlu dicatat beberapa hal dari materi ini, agar kamu dapat mempelajarinya kembali dirumah, antara lain:

Setelah kamu mempelajari materi diatas perlu dicatat beberapa hal dari materi ini, agar kamu dapat mempelajarinya kembali dirumah, antara lain: 

1. Faktor persekutuan terbesar dua bilangan atau lebih dapat diperoleh:
   • Dari anggota himpunan faktor persekutuan bilangan-bilangan tersebut yang terbesar, atau,
   • Dengan cara mengalikan faktor-faktor prima yang sama dari pangkat terendah.
2. KPK dua bilangan atau lebih dapat diperoleh:
   • Dari anggota himpunan kelipatan persekutuan bilangan-bilangan yang terkecil dan bukan nol, atau
   • Dengan cara mengalikan faktor-faktor prima yang berbeda dengan pangkat tertinggi.
3. Kuadrat suatu bilangan adalah hasil kali suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri, dan kebalikan dari pengkuadratan adalah akar kuadrat.

sumber : http://sumberbelajar.belajar.kemdikbud.go.id/